基本不等式公式总结大全（数学必修基本不等式）

基本不等式有着广泛的应用，通过基本不等式的学习，需要理解基本不等式 ，会结合具体实例,用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，会运用基本不等式证明不等式及解决简单的实际问题。

一、基本不等式

1.基本不等式:

设a≥0,b≥0,那么

,当且仅当a=b时,等号成立.这个不等式称为基本不等式,

其中, 称为a,b的算术平均值, 称为a,b的几何平均值.因此基本不等式又称为均值不等式.

2.基本不等式可以表述为:

两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.

3.基本不等式的几何解释:

同一个半圆中,半径大于或等于半弦.

知识点解析

1.基本不等式的条件是a,b都是非负实数,当且仅当a=b时，等号成立,即“a=b”是“ 不等式等号成立”的充要条件.

2.基本不等式的变形公式:

①a+b≥2 ,ab≤ 2(当且仅当a=b时等号成立);

②a+ 1/a≥2(a∈R+)(当且仅当a=1时等号成立);

③a/b+b/a ≥2(a,b同号)(当且仅当a=b时等号成立).

3.由公式a2+b2≥2ab及 ,可得 (a,b∈R+).

知识点拓展

1.如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立).这个不等式叫重要不等式.它成立的条件是a,b∈R.

2.它的几个常见变形式有:(1)ab≤ ;(2)2(a2+b2)≥(a+b)2;(3) 2≥ -1(b≠0).

二、利用基本不等式求最值

当x,y均为正数时,下面的命题均成立:

(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值 ;

(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值 .

知识点解析

1.上述的结论也叫作最值定理.语言描述为:

(1)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;

(2)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.

可简记为“和定积最大,积定和最小”.

2.应用上述结论时要注意以下三点:

(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.

即一正二定三相等.

应用基本不等式时要注意以下三点

(1)各项或各因式均为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.

利用基本不等式证明不等式的注意事项

(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的目的.

(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.

(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.

(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1”的代换,即把常数1替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.