方阵的行列式的性质（行列式，为什么？）
行列式的定义：
设 V 是域K上的 n维线性空间，若 V 上的 n重函数 det:(V)ⁿ→K , 对于 任意一个参数 vᵢ，都满足线性性质：
- det(..., vᵢ + v, ...) = det(..., vᵢ, ...) + det(..., v, ...)，(v ∈ V)；
- det(.., kvᵢ, ...) = k det(.., vᵢ, ...) , (k ∈ K)；
则称 det 为线性函数，若 det 还满足行列式性质：
- det 是反对称的，即，det(..., vᵢ, ..., vⱼ, ...) = -det(..., vⱼ, ..., vᵢ, ...) ；
- 对于 V 的 自然标准单位正交基 e₁, ..., eₙ，有 det(e₁, ..., eₙ)＝1；
则 称 det 为 行列式，并记，
| v₁ |
| ... | ＝det(v₁, ..., vₙ)
| vₙ |
◈◈◈◈◈◈
行列式的解析式推导：
以 K = ℝ ，V ＝ ℝⁿ 为例， 此时，
e₁＝(1, 0, ..., 0), ..., eₙ＝(0, ..., 0, 1)
于是任意向量 v＝(a₁, ..., aₙ) 可线性表示为，
v＝a₁e₁＋...＋aₙeₙ
定义投影函数，
e¹(v)＝a₁, ..., eⁿ(v)＝aₙ
对于 任意一组向量
v₁＝a₁₁e₁＋...＋a₁ₙeₙ, ...，vₙ＝aₙ₁e₁＋...＋aₙₙeₙ，
根据线性性质，有，
det(v₁, ..., vₙ)＝∑ᵢ₁,...,ᵢₙ₌₁ⁿa₁ᵢ₁⋅⋅⋅aₙᵢₙdet(eᵢ₁, ..., eᵢₙ)＝∑ᵢ₁,...,ᵢₙ₌₁ⁿdet(eᵢ₁, ..., eᵢₙ)a₁ᵢ₁⋅⋅⋅aₙᵢₙ＝∑ᵢ₁,...,ᵢₙ₌₁ⁿdet(eᵢ₁, ..., eᵢₙ)eⁱ¹(v₁)⋅⋅⋅eⁱⁿ(vₙ)
对于任意一组线性函数 f₁, ..., fₙ:V→K，定义张量积，
(f₁⊗⋅⋅⋅⊗fₙ)(v₁, ..., vₙ)＝f₁(v₁)⋅⋅⋅fₙ(vₙ)
则有，
det＝∑ᵢ₁,...,ᵢₙ₌₁ⁿdet(eᵢ₁, ..., eᵢₙ) eⁱ¹⊗⋅⋅⋅⊗eⁱⁿ
再 根据 反对称性，可推导出：
- det(eᵢ₁, ..., eᵢₙ) ≠ 0 当且仅当 i₁ ≠ ... ≠ iₙ
此时，i₁，...，iₙ 是 N＝{1, ..., n} 的一个全排列，于是存在 N 上的 置换 s ∈ Sₙ，使得，
i₁＝s(1)，...，iₙ ＝s(n)
进而有，
det＝∑s ∈ Sₙ det(eₛ₍₁₎, ..., eₛ₍ₙ₎) eˢ⁽¹⁾⊗⋅⋅⋅⊗eˢ⁽ⁿ⁾
又 根据 行列式性质，有，
det(eₛ₍₁₎, ..., eₛ₍ₙ₎)＝(-1)ᴺˢdet(e₁, ..., eₙ)＝(-1)ᴺˢ·1＝(-1)
其中，Nₛ＝N(s(1), ..., s(n)) 表示 s(1), ..., s(n) 的逆序数，这样最终就得到行列式的解析式：
det＝∑s ∈ Sₙ (-1)ᴺˢ eˢ⁽¹⁾⊗⋅⋅⋅⊗eˢ⁽ⁿ⁾
写成大家熟悉的形式就是：
| a₁₁, ..., a₁ₙ |
| ..., ..., ... | ＝∑ₚ₁,...,ₚₙ (-1)ᴺ⁽ᵖ¹’¨’ᵖⁿ⁾ aₚ₁⋅⋅⋅aₚₙ
| aₙ₁, ..., aₙₙ |
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最后，众所周知：
- n重线性函数 就是 n阶协变张量，
于是我们有如下总结：
- n维线性空间 V上的 n阶行列式 det 就是，使得 det(E)＝1 的 V 上的 反对称 n阶逆变 张量。
这里，
┌ e₁ ┐ ┌ 1, 0, ..., 0 ┐
│ ... │＝ │ ... ... ... .... │ = E
└ eₙ ┘ └ 0, ...., 0, 1 ┘
是 单位矩阵。
行列式的 性质 是怎么来的？
实际上，n阶 行列式的 几何意义是
- 以n个参数向量为边构成的 n维超平行六面体的 有向体积；
以 n = 2 为例，则 行列式 det(v, w) 即为上图的平行四边形面积，此时以我们初中《平面几何》的经验容易得到如下结论【注：以下只对参数v进行推导，而参数w类似，不加累述】：
- 缩放性：将 一个边缩放 k 倍，则 平行四边形面积 也跟着 缩放k倍，即，det(kv, w) = kdet(v, w)，这就是线性性质2；
- 平移不变性：将 一个边沿着所在直线平移，则 平行四边形面积 不变，设 平移的是 w 的对边 l，平移向量是 kw，则平移后 v 边变为 v + kw，于是我们有 det(v, w) = det(v + kw, w)；
这样我们就得到了 平行四边形面积 的两大公理，通过这个 两大公理，我们可以推导出：
- 线性性质1：
如图，有，
det(v, w) + det(u, w) = det(v + kw, w) + det(-kw + u , w) = det(λ(v + u), w) + det((1-λ)(v + u) , w) = λdet(v + u, w) + (1-λ)det(v + u , w) = (λ + (1-λ))det(v + u, w) = det(v + u, w)
即得到，
det(v + u, w) = det(v, w) + det(u, w)
- 反对称性：
det(u, u) = det(u + (-ku), u) = det(0, u) = det(0u, u) = 0det(u, u) = 0
即得到，
det(u, u)= 0 ①
再 根据 线性性质1 有，
0 = det(v+w, v+w) = det(v+w, v+w) = det(v, v+w) + det(w, v+w) = det(v, v) + det(v, w) + det(w, w) + det(w, v) = 0 + det(v, w) + 0 + det(w, v) = det(v, w) + det(w, v)
即得到，
det(w, v) = -det(w, v)
最后，如图，单位面积自然是1，即，
det(e₁, e₂) = 1
上面的推导说明，反对称性 可以通过 性质① 得到，而反过来 由反对称性有，
det(u, u) = -det(u, u) ⇒ 2det(u, u) = 0 ⇒ det(u, u) = 0
这样就证明了，反对称性 和 性质① 等价，于是可将 行列式性质 中的 反对称性 替换为 性质①。另外，在满足线性性质的情况下，也可以由 性质① 得到 平移不变性，推导过程如下，
det(v + kw, w) = det(v, w) + det(kw, w) = det(v, w) + kdet(w, w) = det(v, w) + k0 = det(v, w)
【注： n > 2 的情况 和上面类似，这里不在累述】
BTW：
我们知道 V 上的 线性变换 f: V→V，在 V 确定基之后 与 V 上的 唯一 n阶方阵 A 对应，即有，f(v) = Av，此时，若设 V 中的 超几何体 G 被 f 变换为 f(G)，则 行列式的 |A| 的意义就是，
|A| = f(G)的超体积 : G的超体积 ②
考虑，椭圆，
x²/a² + y²/b² = 1
它可以看成 是 单位圆，
x² + y² = 1
在 方阵，
┌ a 0 ┐ = A
└ 0 b ┘
对应的线性变换下得到的，性质 ② 有，
|A| = 椭圆面积 : 单位圆面积
而，
|A| = ab，单位圆面积 = π
于是得到，
椭圆面积 = abπ